جذر عدد صحيح

في نظرية الأعداد ، يتم تعريف الجَذْر الأساسي^[1] أو جَذْر العدد الصحيح الموجب n على أنه ناتج قسمة الأعداد الأولية المتفردة على n. يظهر كل عامل أولي لـ n مرة واحدة فقط كعامل للجداء التالي:$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$تلعب الجذور دورًا مركزيًا في صياغة حدسية abc.^[2]

أمثلة

الأعداد الجذرية للأعداد الصحيحة الموجبة القليلة الأولى هي

1 ، 2 ، 3 ، 2 ، 5 ، 6 ، 7 ، 2 ، 3 ، 10 ، 11 ، 6 ، 13 ، 14 ، 15 ، 2 ، 17 ، 6 ، 19 ، 10 ، 21 ، 22 ، 23 ، 6 ، 5 ، 26 ، 3 ، 14 ، 29 ، 30 ، 31 ، 2 ، 33 ، 34 ، 35 ، 6 ، 37 ، 38 ، 39 ، 10 ، 41 ، 42 ، 43 ، 22 ، 15 ، 46 ، 47 ، 6 ، 7 ، 10 ، ... (متسلسلة A007947 في OEIS) .

علي سبيل المثال،$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$وبالتالي$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

خواص

الدالة ${\displaystyle \mathrm {rad} }$ هي دالة جدائية (لكن ليست جدائية كاملة)

جَذْر أي عدد صحيح ${\displaystyle n}$ هو أكبر قاسم غير تربيعي لـ ${\displaystyle n}$ وكذا تُوصَف أيضًا بأنها نواة خالية من التربيعات لـ ${\displaystyle n}$. لا توجد خوارزمية بزمن متعدد الحدود لحساب الجزء الخالي من التربيع من عدد صحيح.^[3]

يُعمم التعريف ليشمل أكبر رقم ${\displaystyle t}$ خالٍ يقسم كلا من ${\displaystyle n}$ و ${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$، وهي دوال جدائية نطاقها القوى الأولية مثل$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$الحالات عندما تكون ${\displaystyle t=3}$ و ${\displaystyle t=4}$ مجدولة في  A007948 و  A058035 .

اُستخدم مفهوم الجذر الأساسي في حدسية abc، والتي تنص على ذلك ، لأي ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ، يوجد رقم ثابت ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ بحيث أنه لكل الثلاثيات المكونة من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبيا فيما بينهم، يتحقق في ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ ، و ${\displaystyle c}$ العلاقة التالية ${\displaystyle a+b=c}$ ، ^[4]$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

مراجع

1. معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 574 (رابط)
2. Gowers، Timothy (2008). "V.1 The ABC Conjecture". The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ص. 681.
3. Adleman، Leonard M.؛ McCurley، Kevin S. "Open Problems in Number Theoretic Complexity, II". Algorithmic Number Theory: First International Symposium, ANTS-I Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. Springer. ج. 877. ص. 291–322. DOI:10.1007/3-540-58691-1_70. MR:1322733.
4. Gowers، Timothy (2008). "V.1 The ABC Conjecture". The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ص. 681.Gowers, Timothy (2008). "V.1 The ABC Conjecture". The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. p. 681.