توزيع بيتا
دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات
α α -->
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β β -->
>
0
{\displaystyle \beta >0}
حقيقي )
الدعم
x
∈ ∈ -->
(
0
;
1
)
{\displaystyle x\in (0;1)\!}
د۔ك۔ح۔
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}
د۔ت۔ت
I
x
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
المتوسط الحسابي
α α -->
α α -->
+
β β -->
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}
الوسيط الحسابي
I
0.5
− − -->
1
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )}
المنوال
α α -->
− − -->
1
α α -->
+
β β -->
− − -->
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}
α α -->
>
1
,
β β -->
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}
التباين
α α -->
β β -->
(
α α -->
+
β β -->
)
2
(
α α -->
+
β β -->
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}
التجانف
2
(
β β -->
− − -->
α α -->
)
α α -->
+
β β -->
+
1
(
α α -->
+
β β -->
+
2
)
α α -->
β β -->
{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
التفرطح
6
α α -->
3
− − -->
α α -->
2
(
2
β β -->
− − -->
1
)
+
β β -->
2
(
β β -->
+
1
)
− − -->
2
α α -->
β β -->
(
β β -->
+
2
)
α α -->
β β -->
(
α α -->
+
β β -->
+
2
)
(
α α -->
+
β β -->
+
3
)
{\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!}
الاعتلاج
log
-->
(
γ γ -->
)
+
log
-->
(
4
π π -->
)
{\displaystyle \log(\gamma )\,+\,\log(4\,\pi )\!}
د۔م۔ع
1
+
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
∏ ∏ -->
r
=
0
k
− − -->
1
α α -->
+
r
α α -->
+
β β -->
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
الدالة المميزة
1
F
1
(
α α -->
;
α α -->
+
β β -->
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
معلومات فيشر {{{معلومات فيشر}}}
في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، توزيع بيتا توزيع احتمالي مستمر والاسم مشتق من اسم الدالة الرياضية بيتا التي تظهر في معادلاتها.[1] [2] [3]
الخواص دالة الكثافة دالة الكثافة الاحتمالية الخاصة بتوزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:
f
(
x
;
α α -->
,
β β -->
)
=
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
∫ ∫ -->
0
1
u
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
u
)
β β -->
− − -->
1
d
u
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\!}
=
Γ Γ -->
(
α α -->
+
β β -->
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
Γ Γ -->
(
β β -->
)
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
{\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!}
=
1
B
(
α α -->
,
β β -->
)
x
α α -->
− − -->
1
(
1
− − -->
x
)
β β -->
− − -->
1
{\displaystyle ={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!}
حيث
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
دالة غاما . فيما B دالة بيتا للاستنظام حتى يصبح تكاملها على الفترة يساوي واحد.
دالة التوزيع دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:
F
(
x
;
α α -->
,
β β -->
)
=
B
x
(
α α -->
,
β β -->
)
B
(
α α -->
,
β β -->
)
=
I
x
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
مراجع
بعض التوزيعات الاحتمالية الشائعة بمتغير واحد
مستمرة متقطعة
