Eksentrisiteit (wiskunde)

Alle tipes keëlsnitte, gerangskik volgens stygende eksentrisiteit. Let daarop dat kromming afneem met eksentrisiteit, en dat nie een van die krommes mekaar sny nie.

In wiskunde is die eksentrisiteit, aangedui met e of ${\displaystyle \varepsilon }$, 'n parameter geassosieer met elke keëlsnit. Dit kan gesien word as 'n meting van hoeveel die keëlsnit van die sirkelvorm afwyk.

In besonder,

• Die eksentrisiteit van 'n sirkel is nul.
• Die eksentrisiteit van 'n ellips wat nie 'n sirkel is nie is groter as nul maar kleiner as 1.
• Die eksentrisiteit van 'n parabool is 1.
• Die eksentrisiteit van 'n hiperbool is groter a 1 maar minder as oneindig.

Verder is twee keëlsnitte soortgelyk as en slegs as hulle dieselfde eksentrisiteit het.

Definisies

Vir elke keëlsnit bestaan daar 'n vaste punt F, 'n lyn L en 'n nie-negatiewe getal e sodat die keëlsnit bestaan uit alle punte waarvan die afstand F gelyk is aan e maal hulle afstand na L. e word die eksentrisiteit van die keëlsnit genoem.

Die lineêre eksentrisiteit van 'n keëlsnit, aangedui met c of e, is die afstand tussen die middel daarvan en die brandpunt (of een van die twee brandpunte) daarvan.

Alternatiewe Name

Die eksentrisiteit word soms die eerste eksentrisiteit genoem om dit te onderskei van die tweede eksentrisiteit en derde eksentrisiteit wat vir ellipse gedefinieer word. Die eksentrisiteit word ook soms die numeriese eksentrisiteit genoem.

In die geval van ellipse en hiperbole word die lineêre eksentrisiteit soms half-brandpuntskeiding genoem.

Notasie

Twee notasionele konvensie wat algemeen gebruik word:

1. e vir die eksentrisiteit en c vir die lineêre eksentrisiteit.
2. ${\displaystyle \varepsilon }$ vir die eksentrisiteit en e vir die lineêre eksentrisiteit.

eersgenoemde konvensie word in die res van hierdie artikel gebruik.

Waardes

keëlsnit	vergelyking	eksentrisiteit (e)	lineêre eksentrisiteit (c)
sirkel	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
ellips	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
parabool	${\displaystyle y^{2}=4ax}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle a}$
hiperbool	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Ellipse

Vir enige ellips, laat a die lengte van die halwe lengteas en b die lengte van die halwe breedteas daarvan is.

'n Aantal verwante addisionele word slegs vir ellipse gedefinieer:

naam	simbool	waarde terme van a en b	waarde in term van ${\displaystyle o\!\varepsilon }$
eerste eksentrisiteit	${\displaystyle e}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$	${\displaystyle \sin(o\!\varepsilon )}$
tweede eksentrisiteit	${\displaystyle e'}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}}$	${\displaystyle \tan(o\!\varepsilon )}$
derde eksentrisiteit	${\displaystyle e''}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sin(o\!\varepsilon )}{\sqrt {2-\sin(o\!\varepsilon )^{2}}}}}$
Hoekeksentrisiteit	${\displaystyle o\!\varepsilon }$	${\displaystyle \arccos \left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle o\!\varepsilon }$

Kwadratiese oppervlaktes

Die eksentrisiteit van 'n driedimensionele kwadratiese oppervlak is die eksentrisiteit van 'n snit daardeur. Byvoorbeeld in 'n drieassige ellipsoïed, is die meridionale eksentrisiteit die eksentrisiteit van die ellips gevorm deur 'n snit wat beide die langste en die kortste asse insluit (waarvan een die poolas sal wees), en die ekwatoriale eksentrisiteit is die eksentrisiteit van die ellips wat gevorm word deur 'n snit deur die middel, loodreg tot die poolas (i.e. in die ekwatoriale vlak).

Fisiese sterrekunde

In fisiese sterrekunde, vir gebonde wentelbane in 'n sferiese potensiaal, word bogenoemde definisie informeel veralgemeen. As die aposentrum afstand na aan die perisentrum afstand is, word gesê dat die wentelbaan lae eksentrisiteit het; as dit baie verskillend is, word gesê dat die baan eksentries is of eksentrisiteit naby eenheid het. Hierdie definisie kom ooreen met die wiskundige definisie van eksentrisiteit vir ellipse, in Kepleriaanse, i.e., ${\displaystyle 1/r}$ potensiale.

Eksterne skakels

• MathWorld: Eccentricity