Di Driehoeksmeting of trigonometrie is 'n vertakking van die wiskunde wat oor driehoeke handel. Dit ondersoek veral driehoeke waarvan een hoek 90° is (reghoekige driehoeke ), asook die verhoudings tussen hoeke en sylengtes — byvoorbeeld die trigonometriese funksies soos sinus (sin ), cosinus (cos ) en tangens (tan ). Afgesien van gewone driehoeke in 'n plat vlak, word driehoeke op 'n sfeer ook ondersoek in sferiese trigonometrie.
'n Trigonometriese sirkel is 'n sirkel met 'n straal van 1 en die middelpunt as oorsprong van die assestelsel . Die cosinus van die hoek
α α -->
{\displaystyle \alpha \!}
α α -->
{\displaystyle \alpha \!}
α α -->
{\displaystyle \alpha \!}
sin
-->
(
− − -->
α α -->
)
=
− − -->
sin
-->
α α -->
{\displaystyle \sin(-\alpha \ )=-\sin \alpha \!}
cos
-->
(
− − -->
α α -->
)
=
cos
-->
α α -->
{\displaystyle \cos(-\alpha \ )=\cos \alpha \!}
Die tangens van 'n hoek is gedefinieer as die verhouding tussen die teenoorstaande en die aanliggende sye van 'n reghoekige driehoek en is dus:
tan
-->
α α -->
=
sin
-->
α α -->
cos
-->
α α -->
{\displaystyle \tan \alpha \ ={\frac {\sin \alpha \ }{\cos \alpha \ }}}
tan
-->
(
− − -->
α α -->
)
=
− − -->
tan
-->
α α -->
{\displaystyle \tan(-\alpha \ )=-\tan \alpha \!}
In reghoekige driehoek ABC is
sin
-->
A
=
a
c
=
1
csc
-->
A
{\displaystyle \sin A={\frac {a}{c}}={\frac {1}{\csc A}}}
sin
-->
B
=
b
c
=
1
csc
-->
B
{\displaystyle \sin B={\frac {b}{c}}={\frac {1}{\csc B}}}
cos
-->
A
=
b
c
=
1
sec
-->
A
{\displaystyle \cos A={\frac {b}{c}}={\frac {1}{\sec A}}}
cos
-->
B
=
a
c
=
1
sec
-->
B
{\displaystyle \cos B={\frac {a}{c}}={\frac {1}{\sec B}}}
tan
-->
A
=
a
b
=
1
cot
-->
A
{\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}={\frac {1}{\cot A}}}
tan
-->
B
=
b
a
=
1
cot
-->
B
{\displaystyle \tan B={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\cot B}}}
Sin: “sints ” → sin = teenoorstaande oor skuins
Cos: “cosas ” → cos = aangrensend oor skuins
Tan: “tanta ” → tan = teenoorstaande oor aangrensend
Excel
In Excel word sinus, cosinus en tangens soos volg gebruik:
Sin
SIN(30*PI()/180) = SIN(RADIANS(30)) = 0.5
ASIN(0.5)*180/PI() = DEGREES(ASIN(0.5)) = 30 Cos
COS(60*PI()/180) = COS(RADIANS(60)) = 0.5
ACOS(0.5)*180/PI() = DEGREES(ACOS(0.5)) = 60 Tan
TAN(45*PI()/180) = TAN(RADIANS(45)) = 1
ATAN(1)*180/PI() = DEGREES(ATAN(1)) = 45
Standaardidentiteite
Identiteite is die vergelykings wat geld vir enige waarde van hoek "A".
sin
2
-->
A
+
cos
2
-->
A
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }
sec
2
-->
A
− − -->
tan
2
-->
A
=
1
{\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\ }
csc
2
-->
A
− − -->
cot
2
-->
A
=
1
{\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\ }
sin
-->
(
A
± ± -->
B
)
=
sin
-->
A
cos
-->
B
± ± -->
cos
-->
A
sin
-->
B
{\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B}
cos
-->
(
A
± ± -->
B
)
=
cos
-->
A
cos
-->
B
∓ ∓ -->
sin
-->
A
sin
-->
B
{\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B}
tan
-->
(
A
± ± -->
B
)
=
tan
-->
A
± ± -->
tan
-->
B
1
∓ ∓ -->
tan
-->
A
tan
-->
B
{\displaystyle \tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}}
cot
-->
(
A
± ± -->
B
)
=
cot
-->
A
cot
-->
B
∓ ∓ -->
1
cot
-->
B
± ± -->
cot
-->
A
{\displaystyle \cot(A\pm B)={\frac {\cot A\ \cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}}}
In driehoek ABC geld:
Sinreël:
a
s
i
n
A
=
b
s
i
n
B
=
c
s
i
n
C
{\displaystyle {\frac {a}{sinA}}\ ={\frac {b}{sinB}}\ ={\frac {c}{sinC}}}
Cosreël:
cos
-->
A
=
b
2
+
c
2
− − -->
a
2
2
b
c
{\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
Kyk ook
