Sifat Baire

Sebuah himpunan bagian ${\displaystyle A}$ mengenai sebuah ruang topologis ${\displaystyle X}$ memiliki sifat Baire, dinamakan oleh René-Louis Baire), atau disebut sebagai himpunan hampir buka, jika ini berbeda dari sebuah himpunan buka oleh himpunan ramping;

Definisi

Sebuah himpunan bagian ${\displaystyle A\subseteq X}$ dari sebuah ruang topologis ${\displaystyle X}$ dikatakan hampir terbuka dan dikatakan memiliki sifat Baire jika terdapat sebuah himpunan buka ${\displaystyle U\subseteq X}$ sehingga ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ adalah sebuah himpunan bagian ramping, dimana ${\displaystyle \bigtriangleup }$ melambangkan beda simetrik.^[1] Lebih lanjut, ${\displaystyle A}$ memiliki sifat Baire dalam arti terlarang jika untuk setiap himpunan bagian ${\displaystyle E}$ dari ${\displaystyle X}$, irisan ${\displaystyle A\cap E}$ memiliki sifat Baire relatif terhadap ${\displaystyle E}$.^[2]

Sifat-sifat

Keluarga himpunan dengan sifat Baire membentuk sebuah aljabar-σ. Yaitu, komplemen mengenai sebuah himpunan hampir buka adalah hampir buka, dan hanya gabungan atau irisan tercacahkan mengenai himpunan hampir buka adalah hampir buka lagi.^[1] Karena setiap himpunan buka adalah hampir buka (himpunan kosongnya ramping), ini mengikuti bahwa setiap himpunan Borel adalah hampir buka.

Jika sebuah himpunan bagian ruang Polish memiliki sifat Baire, maka permainan Banach–Mazur berpadanannya ditentukan. Kebalikannya tidak berlaku, namun, jika setiap permainan dalam sebuah kelas titik memadai ${\displaystyle \Gamma }$ ditentukan, maka setiap himpunan dalam ${\displaystyle \Gamma }$ memiliki sifat Baire. Oleh karena itu, ini mengikuti dari penentuan projektif, yang ternyata mengikuti dari kardinal besar cukup, bahwa setiap himpunan projektif (dalam sebuah ruang Polish) memiliki sifat Baire.^[3]

Ini mengikuti dari aksioma pemilihan bahwa terdapat himpunan-himpunan real tanpa sifat Baire. Khususnya, himpunan Vitali tidak memiliki sifat Baire.^[4] Versi yang sudah lebih lemah mengenai pemilihan sudah cukup, teorema ideal prima Boole menyiratkan bahwa terdapat sebuah ultratapis takprinsip pada himpunan bilangan asli, masing-masing imbas ultratapis, melalui wakilan biner real, sebuah himpunan real tanpa sifat Baire.

Lihat pula

• Peta hampir buka – Sebuah peta yang memenuhi sebuah syarat serupa dengan yang sebuah peta buka.
• Teorema kategori Baire – Pada ruang topologis dimana irsian himpunan buka rapat banyak tercacah adalah rapat
• Himpunan terbuka – himpunan yang tidak memuat titik-titik batasnya – himpunan bagian dasar ruang topologis

Referensi

1. Oxtoby, John C. (1980), "4. The Property of Baire", Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics, 2 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, hlm. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2 .
2. Kuratowski, Kazimierz (1966), Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers .
3. Becker, Howard; Kechris, Alexander S. (1996), The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series, 232, Cambridge University Press, Cambridge, hlm. 69, doi:10.1017/CBO9780511735264, ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877 .
4. (Oxtoby 1980), p. 22.

Pranala luar

• Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property