Persamaan beda rasional

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk^[1][2][3][4]

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,}$

dimana kondisi awal ${\displaystyle x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}}$ sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk ${\displaystyle n}$ apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama

Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.}$

Bila ${\displaystyle a,b,c,d}$ dan kondisi awal ${\displaystyle w_{0}}$ adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.^[3]

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis ${\displaystyle w_{t}}$ sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain ${\displaystyle x_{t}}$ yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada ${\displaystyle x_{t}}$.

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.^[5][6]

Memecahkan persamaan urutan pertama

Pendekatan pertama

Pendekatan pertama^[7] untuk mengembangkan variabel yang diubah ${\displaystyle x_{t}}$, ketika ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ ditulis sebagai

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

dimana ${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$ dan ${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$ dan dimana ${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$.

Penulisan lebih lanjut ${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$ ditampilkan sebagai hasil

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

Pendekatan kedua

Pendekatan ini^[8] diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk ${\displaystyle x_{t}}$ alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana ${\displaystyle (d-a)^{2}+4bc}$ bukanlah negatif. Tulis sebagai ${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$ diimplikasikan ${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$, dimana ${\displaystyle \eta }$ yang diberikan oleh ${\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c}$ dan dimana ${\displaystyle r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}}$. Maka dapat ditunjukkan bahwa ${\displaystyle x_{t}}$ dievolusikan sebagai

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

Pendekatan ketiga

Persamaan

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

dimana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah^[9]

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

dimana

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$

Aplikasi

Hal ini ditunjukkan^[10] bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

${\displaystyle H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,}$

yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Referensi

1. Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−–218, eqns (41,42)
2. Camouzis, Elias; Ladas, G. (November 16, 2007). Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781584887669 – via Google Books. 
3. Kulenovic, Mustafa R. S.; Ladas, G. (July 30, 2001). Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781420035384 – via Google Books. 
4. Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.
5. "Equivalent resistance in ladder circuit". Stack Exchange. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
6. "Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!". Youtube. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
7. Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online
8. Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.
9. Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.
10. Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

Bacaan lebih lanjut

• Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.