Medan hingga

Dalam matematika, medan berhingga (disebut juga medan Galois dari matematikawan Evariste Galois) adalah medan yang berisi elemen berjumlah berhingga. Seperti medan lainnya, medan berhingga adalah himpunan yang memiliki operasi pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang didefinisikan dan memenuhi aturan tertentu. Contoh umum medan berhingga adalah bilangan bulat mod p dengan p adalah bilangan prima.

Medan berhingga adalah dasar dalam beberapa bidang matematika dan ilmu komputer, termasuk teori bilangan, geometri aljabar, teori Galois, geometri berhingga, kriptografi, dan teori kode.

Sifat-sifat

Medan berhingga adalah himpunan berhingga yang termasuk medan, yakni bahwa pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol) terdefinisi dan memenuhi aturan tertentu yang dikenal sebagai aksioma medan.

Jumlah elemen dalam medan berhingga disebut derajat atau ukuran. Medan berhingga berderajat q ada jika dan hanya jika derajat q adalah perpangkatan prima p^k dengan p adalah bilangan prima dan k adalah bilangan bulat positif. Dalam bidang berderajat p^k, penambahan elemen apa pun sebanyak p akan menghasilkan nol, yaitu karakteristik medan itu ialah p.

Bila q = p^k, semua medan berderajat q isomorfik.^[1] Terlebih lagi, suatu medan tidak dapat memiliki dua submedan berhingga dengan derajat yang sama. Semua medan dengan derajat yang sama dapat dituliskan sebagai ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, F_q, atau GF(q) dengan GF singkatan dari Galois field (medan Galois).^[2]

Contoh medan berhingga paling sederhana adalah medan berderajat prima: untuk setiap bilangan prima p, medan prima berderajat p yang disimbolkan dengan GF(p), Z/pZ, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, atau F_p dapat disusun dari bilangan bulat modulus p.

Referensi

1. Moore, E. H. (1896), "A doubly-infinite system of simple groups", dalam E. H. Moore; et al., Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co., hlm. 208–242 
2. Notasi terakhir dikenalkan oleh E. H. Moore pada tahun 1893 dalam International Mathematical Congress yang diselenggarakan di Chicago (Mullen dan Panario, 2013: 10).

Daftar pustaka

• W. H. Bussey (1905). "Galois field tables for pⁿ ≤ 169". Bulletin of the American Mathematical Society. 12 (1): 22–38. doi:10.1090/S0002-9904-1905-01284-2. 
• W. H. Bussey (1910). "Tables of Galois fields of order < 1000". Bulletin of the American Mathematical Society. 16 (4): 188–206. doi:10.1090/S0002-9904-1910-01888-7. 
• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Basic Algebra I (edisi ke-2). Dover Publications. ISBN 978-0-4864-7189-1. 
• Mullen, Gary L.; Mummert, Carl (2007). Finite Fields and Applications I. Student Mathematical Library (AMS). ISBN 978-0-8218-4418-2. 
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013). Handbook of Finite Fields. CRC Press. ISBN 978-1-4398-7378-6. 
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite Fields (edisi ke-2). Cambridge University Press. ISBN 0-5213-9231-4. 
• Skopin, A. I. (2001) [1994], "Galois field", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4