Bilangan kuantum azimut

Bilangan kuantum azimut adalah bilangan kuantum untuk suatu orbital atom yang menentukan momentum sudut orbital dan menggambarkan bentuk orbital. Bilangan kuantum azimut adalah bilangan kuantum kedua dari seperangkat bilangan kuantum yang menjelaskan keadaan kuantum unik dari sebuah elektron (bilangan kuantum lainnya adalah bilangan kuantum utama, yang diikuti notasi spektroskopi [en], bilangan kuantum magnetik, dan bilangan kuantum spin). Ini juga dikenal sebagai bilangan kuantum momentum sudut orbital, bilangan kuantum orbital atau bilangan kuantum kedua, dan dilambangkan sebagai ℓ.

Derivasi

Fungsi gelombang orbital atom dari atom hidrogen. Bilangan kuantum utama (n) tercantum di sebelah kanan masing-masing baris dan bilangan kuantum azimut (ℓ) ditulis di atas masing-masing kolom.

Terdapat empat bilangan kuantum yang terkait dengan keadaan energi elektron suatu atom yaitu: n, ℓ, m_ℓ, dan m_s. Semuanya menyatakan keadaan kuantum yang lengkap dan unik dari elektron tunggal dalam suatu atom, dan menyusun fungsi gelombang atau orbitalnya. Fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger mengurangi tiga persamaan yang jika dipecahkan, mengarah pada tiga bilangan kuantum pertama. Oleh karena itu, persamaan untuk tiga bilangan kuantum pertama kesemuanya saling terkait. Bilangan kuantum azimut muncul dalam penyelesaian bagian polar dari persamaan gelombang seperti ditunjukkan di bawah. Untuk membantu pemahaman tentang konsep azimut ini, mungkin juga bermanfaat untuk meninjau sistem koordinat sferis [en], dan/atau sistem koordinat matematis alternatif selain sistem koordinat Kartesius. Umumnya, sistem koordinat sferis paling cocok untuk model sferis, sistem silindris untuk tabung, kartesius untuk volume secara umum, dan seterusnya.

Ilustrasi momentum sudut orbital mekanika kuantum.

Momentum sudut elektron atom, L, berhubungan dengan bilangan kuantumnya ℓ sesuai persamaan berikut:

${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}{\ell (\ell +1)}\Psi }$

dengan ħ adalah tetapan Planck tereduksi, L² adalah operator momentum sudut orbital dan ${\displaystyle \Psi }$ adalah fungsi gelombang elektron. Bilangan kuantum ℓ selalu bilangan bulat positif: 0, 1, 2, 3, dst. Sementara banyak buku teks pengantar tentang mekanika kuantum dengan L mengacu pada dirinya sendiri, L tidak memiliki makna sebenarnya kecuali penggunaannya sebagai operator momentum sudut [en]. Bila mengacu pada momentum sudut, lebih baik menggunakan bilangan kuantum ℓ.

Orbital atom memiliki bentuk khas yang dilambangkan dengan huruf. Dalam ilustrasi, huruf s, p, dan d menggambarkan bentuk orbital atom.

Fungsi gelombang mereka berbentuk harmonis sferis, dan dijelaskan oleh polinomial Legendre. Berbagai orbital yang berkaitan dengan nilai ℓ yang berbeda kadang-kadang disebut sub-kelopak, dan (terutama untuk alasan historis) disebut dengan huruf, sebagai berikut:

Subkelopak Kuantum untuk Bilangan Kuantum Azimut

Bilangan Azimut (ℓ)	Huruf Historis	Jumlah Elektron Maksimum	Nama Historis	Bentuk
0	s	2	sharp	sferis
1	p	6	principal	orbital berbentuk dumbel berorientasi polar; satu cuping (lobe) di setiap sumbu (pole) x, y, dan z (sumbu + dan −); dua elektron di masing-masing cuping
2	d	10	diffuse	sembilan dumbel dan satu donat (atau “bentuk unik #1” lihat gambar harmoni sferis, baris ketiga tengah)
3	f	14	fundamental	“bentuk unik #2” (lihat gambar harmoni sferis, baris paling bawah tengah)
4	g	18
5	h	22
6	i	26
Huruf setelah sub-kelopak f urut sesuai abjad setelah f kecuali huruf j dan huruf-huruf yang telah digunakan.

Masing-masing keadaan momentum sudut yang berbeda dapat menampung 2(2ℓ + 1) elektron. Hal ini karena bilangan kuantum ketiga m_ℓ (dapat dianggap sebagai proyeksi kuantisasi dari vektor momentum sudut pada sumbu z) bergerak dari −ℓ ke +ℓ dalam satuan bilangan bulat, sehingga terdapat kemungkinan keadaan sebanyak 2ℓ + 1. Setiap orbital n, ℓ, m_ℓ yang berbeda dapat ditempati oleh dua elektron dengan spin yang berlawanan (diberikan oleh bilangan kuantum m_s = ±½), menghasilkan 2(2ℓ + 1) elektron secara keseluruhan. Orbital dengan ℓ lebih tinggi daripada yang diberikan dalam tabel sangat dimungkinkan, namun nilai tersebut mencakup semua atom yang sejauh ini telah ditemukan.

Untuk nilai tertentu dari bilangan kuantum utama n, nilai ℓ yang mungkin berada pada kisaran mulai 0 sampai n – 1; sehingga, kelopak n = 1 hanya memiliki satu subkelopak s dan hanya dapat menampung 2 elektron, kelopak n = 2 memiliki satu subkelopak s dan satu subkelopak p dan dapat menampung 8 elektron secara keseluruhan. Kelopak n = 3 memiliki subkelopak s, p, dan d dan memiliki maksimum 18 elektron, dan seterusnya. Secara umum, jumlah elektron maksimum pada tingkat energi ke-n adalah 2n².

Bilangan kuantum momentum sudut, ℓ, mengatur jumlah simpul planar yang melalui nukleus. Simpul planar dapat dijelaskan dalam gelombang elektromagnetik sebagai titik tengah antara puncak dan lembah, yang mempunyai magnitudo nol. Pada orbital s, tidak ada simpul yang melalui nukleus, sehingga bilangan kuantum azimutnya adalah 0. Pada orbital p, satu simpul melintasi nukleus dan oleh karena itu ℓ memiliki nilai 1. L memiliki nilai √2 ħ.

Terdapat bilangan kuantum momentum sudut ℓ dan deret yang mengikutinya, bergantung pada nilai n. Panjang gelombang berikut ini adalah untuk atom hidrogen:

n = 1, L = 0, Deret Lyman [en] (ultraviolet)

n = 2, L = √2ħ, Deret Balmer (sinar tampak)

n = 3, L = √6ħ, Deret Ritz-Paschen (inframerah dekat)

n = 4, L = 2√3ħ, Deret Brackett (inframerah gelombang pendek)

n = 5, L = 2√5ħ, Deret Pfund (inframerah gelombang menengah).

Tambahan momentum sudut terkuantisasi

Informasi lebih lanjut: Penggandengan momentum sudut

Diberikan momentum sudut total terkuantisasi ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ yang merupakan jumlah dari dua momentum sudut individual terkuantisasi ${\displaystyle {\vec {\ell _{1}}}}$ dan ${\displaystyle {\vec {\ell _{2}}}}$,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\ell _{1}}}+{\vec {\ell _{2}}}}$

bilangan kuantum ${\displaystyle j}$ yang terkait dengan magnitudonya dapat berkisar dari ${\displaystyle |\ell _{1}-\ell _{2}|}$ hingga ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}}$ dengan tahapan bilangan bulat di mana ${\displaystyle \ell _{1}}$ dan ${\displaystyle \ell _{2}}$ adalah bilangan kuantum yang sesuai dengan besaran momentum sudut individunya.

Momentum sudut total elektron dalam atom

"Kerucut vektor" dari momentum sudut total J (ungu), orbital L (biru), dan putaran S (hijau). Kerucut timbul karena ketidakpastian kuantum antar pengukuran komponen momentum sudut (lihat model vektor atom.

Momentum sudut orbital tidak lagi bergerak Hamiltonan, juga tidak berputar, karena interaksi spin-orbit [en] dalam atom. Sehingga, ini berubah dari waktu ke waktu. Namun, momentum sudut total J bergerak Hamiltonan secara konstan. J didefinisikan melalui

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$

L menjadi momentum sudut orbital dan S adalah spin. Momentum sudut total memenuhi hubungan komutasi yang sama seperti momentum sudut orbital, yaitu

${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}}$

dari persamaan berikut

${\displaystyle \left[J_{i},J^{2}\right]=0}$

dengan J_i mewakili J_x, J_y, dan J_z.

Bilangan kuantum yang menggambarkan sistem, yang konstan dari waktu ke waktu, sekarang j dan m_j, didefinisikan melalui aksi J pada fungsi gelombang ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}{j(j+1)}\Psi }$

${\displaystyle \mathbf {J} _{z}\Psi =\hbar {m_{j}}\Psi }$

Sehingga j berhubungan dengan norma momentum sudut total dan m_j terhadap proyeksi di sepanjang sumbu tertentu.

Seperti halnya momentum sudut dalam mekanika kuantum, proyeksi J sepanjang sumbu lain tidak dapat didefinisikan bersama dengan J_z, karena mereka tidak bergerak.

Hubungan antara bilangan kuantum baru dan lama

Informasi lebih lanjut: Bilangan kuantum § Bilangan kuantum dengan interaksi spin-orbit

j dan m_j, bersama-sama dengan paritas dari keadaan kuantum, menggantikan tiga bilangan kuantum ℓ, m_ℓ dan m_s (proyeksi spin sepanjang sumbu tertenu). Bilangan kuantum sebelumnya dapat dikaitkan dengan yang lebih baru.

Selanjutnya, vektor eigen dari j, s, m_j dan paritas, yang juga merupakan vektor eigen dari Hamiltonan, adalah kombinasi linear vektor eigen dari ℓ, s, m_ℓ dan m_s.

Daftar bilangan kuantum momentum sudut

• Bilangan kuantum momentum sudut intrinsik (atau spin), atau sederhananya bilangan kuantum spin
• Bilangan kuantum momentum sudut orbital (yang dibahas pada artikel ini)
• Bilangan kuantum magnetik, terkait dengan bilangan kuantum momentum orbital
• Bilangan kuantum momentum sudut total

Sejarah

Bilangan kuantum azimut diturunkan dari model atom Bohr, dan diajukan oleh Arnold Sommerfeld.^[1] Model Bohr berasal dari analisis spektroskopi atom yang dikombinasikan dengan model atom Rutherford. Tingkat kuantum terendah ditemukan memiliki momentum sudut nol. Orbit dengan momentum sudut nol dianggap sebagai muatan berosilasi dalam satu dimensi dan disebut orbit "pendulum".^[2] Dalam tiga dimensi, orbit menjadi bulat tanpa simpul yang melintasi nukleus, serupa (dalam keadaan energi terendah) dengan tali skipping yang berosilasi dalam satu lingkaran besar.

Lihat juga

• Operator momentum sudut [en]
• Mekanika kuantum dasar [en]
• Partikel dalam potensi simetris sferis [en]
• Bilangan kuantum
  • Bilangan kuantum magnetik
  • Bilangan kuantum utama
  • Bilangan kuantum spin
  • Bilangan kuantum sudut total [en]
• Penggandengan momentum sudut [en]
• Koefisien Clebsch–Gordan [en]

Referensi

1. Eisberg, Robert (1974). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles. New York: John Wiley & Sons Inc. hlm. 114–117. ISBN 978-0-471-23464-7. 
2. R.B. Lindsay (1927). "Note on "pendulum" orbits in atomic models". Proc. Natl. Acad. Sci. 13: 413–419. Bibcode:1927PNAS...13..413L. doi:10.1073/pnas.13.6.413. PMC 1085028 . PMID 16587189. 

Pranala luar

• Development of the Bohr atom
• Pictures of atomic orbitals
• Detailed explanation of the Orbital Quantum Number l
• The azimuthal equation explained